小學數學科普：圓錐的體積公式的由來，值得收藏！

小學六年級，我們學過圓錐體的體積公式。 大家都知道，圓錐體的體積是等底等高圓柱體體積的1/3。 那么為什么它等于圓柱體體積的1/3呢？ 幾乎所有版本的小學數學教材都采用演示的方式來說明。 即老師拿著一個等底、等高的透明圓柱體和圓錐體。 將錐體裝滿水（或沙子）并倒入圓柱體中三次。 如果圓柱體是滿的，則意味著兩者的體積是三倍。

當然，這樣組織教材的目的是基于小學生的認知基礎來處理，但在實際教學中，你會發現越來越多的孩子對這種解釋不滿意，他們會總是打破砂鍋問問題。 這個問題的解釋包括簡單的微積分思維和祖訓原理。 作為教師，我們有必要對孩子們進行一次數學科普，讓他們明白其中的原理。 這無疑會培養孩子們進一步學習和研究數學的熱情。

1、我們先來說一下圓面積的推導。

在推導圓的面積時，我們將圓分成幾個“圓三角形”圓柱公式大全，然后將它們拼接成近似平行四邊形。 分割成的小三角形越多，形狀就越接近矩形。 然后比較兩者的關系，利用矩形的面積公式推導圓形的面積公式。 這就是“化曲線為直線”的思想，而切割和拼湊的過程實際上用到了微積分的思想。

圓的面積=周長的一半×半徑=πr×r=πr2（如圖）

2、說說圓錐體積公式的由來

那么為什么圓錐體的體積與圓的面積有關呢？ 這里主要用的解釋是用求圓面積的方法來“化曲線為直線”。 還是一樣的道理。 首先，將圓柱體和圓錐體細分為等底、等高，如圖所示。 劃分足夠細，曲線變成了直線。 那么劃分出來的每一小塊就是一個三棱柱和對應的三棱錐。

接下來我們要研究等底等高的三棱柱和三棱錐的關系。

這里先說一個結論，就是等底等高的三棱錐的體積是相等的。 這就需要先講一個道理，祖訓的道理。

祖訓（ɡènɡ），又名祖續之，是中國著名數學家祖沖之（公元429-500年）的兒子。 他的活動時期大約是公元504-526年。 南朝齊梁時期數學家，曾任大臣。 祖父子在數學和天文學方面都做出了杰出的貢獻。

祖遜在修改、編輯祖沖之的《諸書》時，提出了著名的祖遜原理，并巧妙地推導出球體積公式。

祖訓原理又稱祖氏原理，是一個涉及幾何求積的著名命題。 公元656年，唐代李淳風在評論《九章》時提到了祖遜的開圈術。 祖遜在求球體體積時，運用了“勢同則積不異”的原則。

祖訓原理：“夾在兩個平行平面之間的兩個幾何體，被任何平行于這兩個平面的平面所截。如果這兩個截面的面積總是相等，那么這兩個幾何體的體積就相等。”

如下圖所示：兩堆相同編號的相同書籍疊成兩堆，一堆垂直堆放，另一堆斜向堆放（分別對應直棱柱和斜棱柱）。 使用與底部平行的橫截面來切割這兩堆。 棱柱的橫截面積到處都相等，它們的體積顯然也相等。 這是祖訓原理的直觀體現。

根據祖心原理，下列三個底面積相等的圓柱體的體積都相等：

因此，下圖中，兩個等底、等高的三棱錐，由于相似關系，在相同高度處的橫截面積也相等。 因此，根據祖心原理，可以看出，兩個等底、等高的三角錐，體積相等。

但圓錐體（棱錐體、圓錐體、不規則圓錐體）的體積不能直接按照上述方法定義。 我們可以回想一下，我們小學的時候，推導出了三角形面積的公式：兩個相同的三角形可以組合成一個平行四邊形，所以三角形的面積為：

我們可以模仿這種思路，不難證明三棱錐的體積等于等底等高三棱柱體積的1/3，如下圖：

三棱柱ABC-A'B'C'的底面積（即△ABC的面積）為s，高（即A'點到平面ABC的距離）為h，那么它的體積為sh，沿平面A'BC和平面A'B'C，將此三棱柱分成三個三棱錐，其中三棱錐1和2的底面積相等（S△A'AB=S△A'B 'B)，且高度也相等（C點到平面ABB'A'）； 三棱錐2和3也具有相等的底面積(S△B'BC=S△B'C'C)和相等的高度(點A'到平面BCC'B'的距離)。 因此，這三個三棱錐的體積相等，每個三棱錐的體積等于等底等高三棱柱體積的1/3。

這不僅適用于金字塔，還適用于圓錐體。 只要是圓錐體，等底、等高的圓錐體的體積就相等。 從等面積關系不難看出，所有圓錐體的體積都等于同底同高圓柱體體積的1/3。

最后回到原來的圓柱和圓錐分割圖。 由于圓柱體被分割成許多近似的小三棱柱，圓錐體被分割成許多相應的小三棱錐。 每個小三棱錐的體積是相應小三棱柱體積的三分之一。 ，所以圓錐體的最終體積是等底等高圓柱體體積的三分之一。 中學生完全可以理解這一點，理解力好的小學生也能理解。

好了，最后希望這些內容能夠幫助我們的孩子提高學習數學的興趣和積極性。 更多數學題，可以在下方留言，我們一起研究吧！

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Tags：體積 相等 平面 公式 圓柱