配方法求最值例題20道

• 配方法求最值例題20道

以下是20道配方法求最值例題：

1. 求函數 y = x2 + 2x的最值。

解： y = (x + 1)2 - 1 ≥ - 1，即當 x = - 1時，函數取最小值 - 1。

2. 求函數 y = 2x2 - 6x + 5的最值。

解： y = (2x - 3)2 - 4，當 x = 1.5時，函數取最小值 - 4。

3. 求函數 y = x3 - x2 - x + 5的最值。

解： y = (x2 - x + 1/4)2 + (5 - 1/4)

當 x = 1/2時，函數取最小值 - 3/8。

4. 求函數 y = (x + a)2 + b的最值。

解：當 a > 0時，當 x = - a時，函數取最小值 b；

當 a < 0時，當 x = a時，函數取最小值 b。

5. 求函數 y = x2 - 6x + 9的最值。

解：配方得 y = (x - 3)2，當 x = 3時，函數取最小值 0。

6. 求函數 y = x3 + x2 - x的最值。

解：配方得 y = (x + 1/2)3 - 1/4，當 x = - 1時，函數取最小值 - 4。

7. 求函數 y = x? + x3 - x2的最大值。

解：配方得 y = (x2 + x + 1/4)(x2 - x + 1)，當 x = - √3/3時，函數取最大值 (7 + √3)/6。

8. 求函數 y = (x2 + a2)2 - b(x2 + a2)的最小值。

解：配方得 y = (x2 + a2 + b)2 - a2b2，當 x = - a時，函數取最小值 a2b2。

9. 求函數 y = (x2 + k)2 + (k-2)x的最小值。

解：配方得 y = (x + k)2(k-2)，當 x = - k時，函數取最小值 k2-2k。

10. 求函數 y = x3 + ax2 + bx + c的最值。

解：配方得 y = (x+a/6)3+b/24，當 x=-a/6時，函數取最大值(4ac-b2)/24a；當 x=-a/6時，函數取最小值(4ac-a3)/24。

11. 求函數 y = x?+x3-ax2-ax+a的最小值。

解：配方得y=(x+a/3)?-a(x+a/3)+a3/27，當x=-a/3時，函數取最小值-a3/27。

12. 求函數y=x^3+9x^2-6x+6的最小值。

解：配方得y=(x+3)^3+3，當x=-3時，函數取最小值3。

13. 求函數y=x^4-4x^3+6x^2的最大值。

解：配方得y=(x^2-2)^4+O(max)=（（（（（（（（（（（（（（（（（（（（（（（（（（（{-2}））））））））））））））））））），當x=0時，函數取最大值O(max)。

14. 求函數y=x^3-3x^2+mx的最大值。

解：配方得y=(x-√m)^3+m-m^3/3，當m>0時，當x=√m時，函數取最大值為m-m^3/3；當m<0時，當x=-√m時，函數取最大值為m-m^3/3。

15. 求函數y=x^4+ax^3+bx的最大值和最小值。

解：配方得y=(x^2+ax+b/2)^2+c(其中c為常數)，所以最大值為c+b^2/4；

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例1：求$y = x^{2} - 4x + 3$的最值。

解：$y = (x - 2)^{2} - 1 \geq - 1$，即當$x = 2$時，$y$有最小值$- 1$。

注意事項：

1. 對二次項進行移項時，要連同符號一起移。

2. 在二次項前面加上一次項系數倒數的絕對值，是為了使二次項系數變為$1$，從而使二次配方得以進行。

3. 對配方后的式子進行變形時，不要改變其符號。

例2：求$y = x^{2} + 8x + 18$的最小值。

解：$y = x^{2} + 8x + 16 + 2$，配方得$y = (x + 4)^{2} + 2 \geq 2$，即當$x = - 4$時，$y$有最小值$2$。

注意事項：

1. 當已知條件中沒有具體的函數關系式時，要會根據條件列出函數關系式。

2. 在配方時，不要把常數項移項到等號的一邊后再進行配方，而應把常數項移項后對整個多項式進行配方。

1. 在配方時要注意二次項的系數是否為1，如果不是1要進行變換；在進行變形時要保證等號兩邊同趨向時符號相同。

2. 在配方時要注意不要漏項或漏底數；配方后要把各項化為完全平方式與非完全平方式的形式。

3. 在求最值時要注意考慮自變量的取值范圍。

4. 在配方后進行變形時要注意變形不能改變符號。

5. 在利用配方法解含絕對值符號的一元二次函數時，去絕對值符號時要考慮兩種情況。

6. 在利用配方法求解時，一定要掌握配方法的基本步驟，并注意觀察二次項系數與一次項系數之間的關系。

7. 在利用配方法解函數時，要注意等根問題，即求得的根要使二次項系數不為零。

希望以上信息對您有所幫助，如果您還有其他問題，歡迎告訴我。

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